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>機種はｅｍａｃｈｉｎｅｓのＪ６４２４です。
この機種が間違っていない事を前提にお話を進めさせて頂きます。
つまりこの機種だと思われます。
http://www.tsukumo.co.jp/emachines/j6424.html

電源ボタンを入れても起動ランプが点灯すらしないという事は
画面には何も表示されていないという事でしょう。
で、電源ボタン自体は単純な通電スイッチでしかなく、これが
壊れるという事はほぼないと思った方がよいです。
現物を見なければ判りませんので推測にしかなりませんが、
おそらく電源が壊れた物と思われます。
質問者様が例えばメモリ増設をしたとかHDDを追加した、
またはグラフィックボードを追加したなどの後にこの現象に
なったとするなら、そこら辺の接続ミスや電源容量が足りないなどの
原因が考えられ、変更前の元の状態に戻してみて接続状況などを
再度見直し・外して再接続等をしてみるのも手かもしれません。

そういった事はしていない・それでもダメだったと言うなら
「～ハードディスクの写真だけでも取り出したいのですが～」を
実践する事になります。
申告のｅｍａｃｈｉｎｅｓのＪ６４２４のHDDはS-ATAのHDDなので
まずHDDを取り出します（分解は面倒ですが動かないので仕方ありません）。
そして以下のURLにあるような商品を購入し、USB接続で
ノートパソコンに接続すればノートパソコン上でUSB接続した
HDD内部が見れるようになるのでノートパソコンに移動しましょう。
http://www.century.co.jp/products/pc/hdd-kit/crosu2.html

こういったS-ATA→USB変換商品は類似製品がそれなりにありますので
特に上記製品でなくてもよいです（HPの説明が判り易いので引用しました）。

ｅｍａｃｈｉｎｅｓのＪ６４２４については･･･、正直どうなんでしょうねぇ･･･。
修理に出すのはいいのですが、修理代金が例えば１万円程度なら
私なら許容範囲ですが、それ以上となると新品を購入した方がスペックも
上がりますし、最近の新品はメーカー品でもそれほど高くないのでかなり
微妙です。質問者様のご判断にお任せします（笑