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手持ちのInspiron8000を見ると、ランプの一番右は、バッテリーの
容量を示しているようです。
ACアダプタが抜けると、即OFFという現象から推測するに、バッテリー
が充電されていないか、バッテリーの寿命が尽きていると思われます。

8100も、もうかなり古い機種であったように、記憶しています。
バッテリーの寿命は、交換していなければとっくに尽きているはずです。
(私のものもはるか昔に切れています)

バッテリーを新しくすれば、症状は治まるかもしれませんが、こういった
オプション機器は、お世辞にも安くありません。
PC自体を買い換えたほうがよいかもしれません。