出発点が間違っています。
UnetbootinはUSB Netbook Installer とかの略で、本来光学ドライブが内蔵されていないのでCD/DVDからのインストールができないネットブック(ミニノート)の内蔵ドライブにLinuxをインストールするためのものです。繰り返し使用することは想定されていません。
Unetbootinから起動して無線LANがつながるかどうかとか、使い勝手がよいか悪いかとかを確認してインストールするかどうかを決め、インストールすればUSBメモリはフォーマットして別の用途に、インストールしなければ別のLinuxディストリビューションをUnetbootinで入れて試してみる、というような使い方が想定されています。
USBメモリにLinuxを恒久的にインストールするには、次の記事のようにやります。
>Ubuntu 12.10 をUSBメモリにインストールする
http://shiroichi.sakura.ne.jp/2012/11/20121104ubuntu/この記事の中で「UbuntuのDVD」とあるところは「Unetbootinで作ったUSBメモリ」と読み替えてください。他にインストール対象のUSBメモリが必要ですが、最低でも8GB、できれば16GBのものを用意してください。
また上の記事の中ではパーティション分けをしていますが、 「それ以外」ではなく「ディスク全体を使う」を選んでお任せにすればパーティション分けは必要ありません。
ご存知ないのかもしれませんが、Ubuntu13.04はサポート期間が2013年12月末までと短く、実質的には来年出る14.04のベータ版のようなものなので、今インストールするのなら2017年3月末までサポートされる12.04にすべきです。
参考までに16GBのUSBメモリにインストールしたUbuntu12.04の使用状況は次のようになっています。
shintok@Ubuntu1204:~$ df -H
Filesystem Size Used Avail Use% Mounted on
/dev/sdb1 14G 6.3G 6.8G 48% /
16GB中14GBを/領域にとり、残りをswap領域にしていますが、Ubuntuは正直使いにくいのでほとんど使っていないのにもかかわらず6.3GB使用しているので8GBのUSBメモリならすでにいっぱいになっています。