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「サイレントの設定という訳ではありません」とおっしゃっているので、質問者の希望に完全にマッチするかどうか確信がもてません。
もしや、「ウェブブラウジング中なら鳴らない、しかし普段は鳴る」ということがやりたいのでしょうか。
そうでしたら、下記は読んでもムダです＞＜

「メールならサイレント」について試した結果に沿い提案を書いてみます。（「メールならサイレント」自体が、多少ヒネらないとできませんので．．．）

音量設定が着信とメール受信は共用なので、どちらかの音量だけを０にすることができないようです。
また、メール受信時の音の鳴る時間を短くしようとしても、最短１秒までしか設定できません。


＜無音ファイルを作成し、それをメールの着信時に再生する案＞

・着信は普通に鳴る ＋ バイブ可能。
・メール受信は常に無音（ほぼ）＋バイブ可能。


＜手順＞
・標準で用意されているアプリ「ボイスレコーダ」を起動し、１秒くらいの録音をする。
・ただし、録音中は音を入れたくないので、しゃべらない。（VOICEｘｘｘｘｘ.3gp というファイルがSDカードに作成される。）
・「ボイスレコーダ」を終了させる。

・本体の 「設定」を呼び出し、「音・バイブ・ランプ」-「アプリごとの設定」-「メール」と進む。
・「音・バイブ・ランプ」画面で「メロディ」 を選ぶ。
・「アプリケーションを選択」の要求に対し、「着信音」を選ぶ。
・画面上部にある「プリセット／microSD／...」から、「microSD」を選ぶ。
・先ほどのVOICEｘｘｘｘｘ.3gp が表示されているのでそれを選ぶ。
・右下の「再生／停止」を押してみて、音が鳴っていないことを確認する。
・中央下「OK」を押す。
・「音・バイブ・ランプ」画面で「鳴動時間」 に進み。鳴動時間を「時間設定」「１秒」に設定する。

着信では音が鳴りますが、メール受信では「しゃべらなかった静寂」が再生されます。

ムダ話になっていたらスミマセン。
また、質問者が希望しているようなお助けアプリがあるかどうかは調べていません。