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あまり難しく考えるといい写真が撮れませんよ。
タムロンのこのレンズだと、手ぶれ機構はついているものの、270mm（実際には400mmくらいになりますね）までの望遠側になると、とにかくシャッター速度を優先に考えた方がいいと思います。
自分の場合は、子供が100m走など、比較的動きが予想しやすい場合、プログラムモードでAIサーボ、ISOは400にします。曇りではISOを800くらいまで上げますが、晴天であれば400にしておけばたいてい1/500以上のシャッターが切れます。
また、綱引きやお弁当などは全自動モードでも十分撮れますし、走る姿を流し撮りにしたければ他の方が書いておられるように逆にシャッターの速度を落として、流し撮りに挑戦しては、と思います。ただ、流し撮りをするためには何度か練習して「こつ」を自分なりにつかんでおかなければお子さんも流れて…という失敗が起きやすいのでご注意を。
でも、一番の方法はとにかく連写、100枚だろうが200枚だろうがメモリーとバッテリーが許す限り枚数を稼ぐことが成功への一番の近道です。それが「デジカメ」のよいところなのですから。また、気合いがあれば三脚ならぬ「脚立」でお父さん（お母さん）自身が見晴らしのよい場所から写真を撮ること。行事写真はまずこれでしょ～ね。ただ、他の保護者の方と仲が悪くならない程度に、ですが。