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設定＞一般＞モバイルデータ通信＞モバイルデータ通信をオフにしてください、ネットに繋がらなくなると思います。

LINEを使うとネットにつながっているのでパケット代がかかります。
ただ、ご希望のパケット定額にはいらないという選択肢がiPhoneにはなかったはずなので、ご希望的には難しいです

softbankならiPhone5sの契約と同時に、iPhone4のスマホファミリー割をお薦めします。
スマホファミリー割のゼロから定額に加入すれば、iPhone4が２年間は無料で使えます。

通話基本料が無料、通話料金は普通のiPhoneと同じで、softbank家族間は24時間無料
つまりお母様とは常に無料。その他のsoftbankは時間によって無料。他社は有料です。
3Gデータ通信のパケットも最低料金がゼロ円からなので、使わなければ無料です。

かならず、iPhone4の設定のモバイルデータ通信をオフにしておいて下さい。
3Gデータ通信でネットを使用すると、すぐにパケット料が上限にいってしまいます。
WiFi接続すれば、無料でインターネットもLINEも使うことが出来ます。

たぶん機種変更する時にショップで旧iPhoneを残すように勧められます。
その時新しい電話番号をその旧iPhoneに付けて、2種類の料金プランから選ぶよう言われるはずです。
スマホファミリー割という2年間の継続利用が条件ですが、そのうち「ゼロから定額」という基本料金0円、パケットし放題も0円～ というプランがあります。
http://www.softbank.jp/mobile/iphone/program/list/family/
iPhoneの設定でモバイルデータ通信をオフにしておけばパケット通信を一切しないので0円の運用もできます。
かかるのは通話料金だけです。
ただ、その場合メールはSMSだけしかできません。
メールアプリによるメールやLINEはパケット通信なので、通常の4,410円／月がかかるプランの方が良いかもしれません。
これらの利用料金はに同一請求先になります。

SoftBankに関して言うと定額加入は契約の前提です。フル定額以外に2段階方式の定額が用意されているので、全くモバイルデータ通信を利用しないなら、定額の下限で維持が可能かと思います。この場合、モバイルデータ通信はOFFにされることをお勧めします。
この状況ではmailもWi-Fi環境下で無いと利用は不可能ですが、下限で維持できると思います。
電話とカメラの利用なら、特にモバイルデータ通信がOFFでも問題はないかと思います。
モバイルデータ通信をONにしない限り、上限まで行くことはないので、この部分だけ注意されておくと良いかと思います。

入らないと無理だと思います。
iPhoneは常に通信をしています。
パケットし放題という変動のパケット定額料金もありますが、
少し使えばすぐに上限まで行って逆に高くなってしまいます。
パケット定額に入らないと恐ろしいパケット代になります。
LINEももちろんパケットを使っています。
ネットにつなぐと必ずパケット通信が行われます。
パケット代を使いたくないのであればガラケーしかありません。