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＞・家のパソコンのモデムとルーターを持ち歩けばネットにつながるでしょうか

持ち歩いてもつながりませんし、持ち歩くようにもできてません。

＞・またモデム内蔵無線ルーターとはなんでしょうか、これだけ持っててもネットにはつながらないのでしょうか

無線LANルーターとモデムが一緒（一体化）になった物です。
最近はカードだけレンタルしてモデムに刺せば無線LAN機能が付加できるタイプの方が主流ですが。
こちらも、持ってるだけではネット接続はできません。

＞・一部の喫茶店や市立図書館にLANケーブルが差せる所がある(ノーパソは普通に直に使える)のですが、そこにルーターを持ってって差せばネットが使えるでしょうか(範囲はごく狭いが)

設定さえ適切に行えば、無線LANルーターや無線LANアクセスポイントをつなげれば無線でネット接続することは可能かと思いますが、念のためにやるまえに許可は取ってくださいね。

＞・よくハードオフとかオークションに中古のsoftbankポケットwifiが通電のみ確認と本体だけ売ってるのですが、SIMカードは入ってるのでしょうか、

もちろん、SIMカードははいってません、いわゆる白ロムです。

＞・また本体だけ持ってても契約しなきゃネットは使えないのでしょうか、

そのとおりです。

＞・また中古の本体ではお店に持って行っても契約してくれないそう(新しいのを買わされる、契約すると新しいのをくれる)なのですが、そうしたら中古で本体だけ売る意味はなんなのでしょうか、

犯罪に関係してるもの、機種代金がきちんと支払い終わってるものであれば本体を持ち込んでの契約は可能ですよ。

＞・フレッツ光の光ポータブル(月額¥315)は、3Gモバイルデータ通信と一緒に使えばどこでもネットが使えるってのは、iPadの3GモデルがsoftbankとかNTTと契約済でないと意を成さないのでしょうか(中古購入なので3Gは使えてない)、

その通りですね。
通常の無線LAN親機としては使用可能です。

＞・多少値が張っても、重い機器を持ち歩いても構わないので、なんとかして月額契約をせずに外でネットを使う方法はないでしょうか

何処でもというわけにはいきませんが下記を参考にどうぞ・・・

参 考
http://freespot.com/

結論を申し上げるとどことも契約せずにどこでもネットに接続することは不可能です。