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基盤部分の不具合の可能性もありますが、HDD本体の不具合の場合のほうが多いでしょう。
Windowsから認識できない場合でもLinuxで認識できる場合もあります。

USBからの起動に対応しているBIOSの場合、電源投入前から外付けHDDを接続していると、ブートメニューに外付けHDDが出てきます。
（そこから起動できるかではなく、起動可能なデバイスという意味）
ここで認識されない場合ははっきり言って重症です。（ドライブの障害の場合）
一度で認識しなくても何度かトライすると認識できる場合もあります。
ただし、この場合試行するだけとどめを刺す可能性が高くなることはご承知を。

ここで認識していれば有料の復元ソフトを使用しなくてもデータを抜くことが可能な場合があります。
LinuxのライブCD（ファイルを取り出すだけなら英語版でも問題なし）などでアクセスできたらそのままファイルを別のところへコピーしてください。ただし、一度にあまり欲張ると途中で落ちる場合もありますので、こまめに抜き出した方がいいでしょう。

デスクトップなどで複数のHDDを内蔵できる（SATA）場合は、ケースからドライブを取り出してドライブをマザーボードに直接接続することでアクセスできるようになる場合もあります。変換基板の不具合かのチェックにもなります。

復元できる可能性で言うと
業者に依頼＞CD起動の復元ソフト（有料）＞Windowsベースの復元ソフト（無料もあり）の順でしょう。
復元ソフトを使用しない場合はスキルにもよるのでなんとも言えません。
どのような方法でも試行するたびに復元できる可能性は少なくなります。
業者がおかしくなったら触らずに持って来いというのもこの理由からです。
データにアクセスできるかを別にしてドライブとして認識できる可能性は
内蔵BIOS＞外付けBIOS＞Linux＞Windows内蔵＞Windows外付けといったところでしょう。途中にドライバーや変換基板が無い方が認識しやすいというのはご理解いただけるでしょう。

私がBIOSでもたまにしか認識できないドライブからデータを抜き出した時にはAcroniTrueImageのブートディスクから抜き出せました。日本語、Linuxベースの起動ディスクが他になかった（英語版のライブCDは持っていた）という理由からです。
データ復元のためにバックアップソフト、というのも意味不明なのでこんなこともあった、という例です。

有料復元ソフトの体験版がありますから、それで復元できるかチェックする、というのが簡単かも。
復元できるのがわかったら買う、というのもいいですが、Windows外付けで中身までチェックできるということはLinuxでは普通にアクセスできる可能性もあります。ドライブをばらせば更にアクセスしやすくなるかもしれません。
あとはスキル、ファイルの重要性、コスト等でお考えください。