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これってバッテリーの寿命？突然死？ですか？
二つの質問に御回答お願いいたします。
（長文で申し訳ありません。m--m）

本体：GATEWAY EC3800-45K
バッテリー：AS09D70 GATEWAYの「EC3800-45K」というノートPCを使っているのですが、一昨日の夕方まで普通に充電池のみで使用できていたのが、夜に使っていると「電池残量が足りないのアイコン」が出ました。
そこでACコードで充電しながら使っていると、電池残量が足りないアイコンが何度も出たり消えたりを繰り返したので、一旦、再起動をしてまた充電しながら使い、普通にシャットダウンをして終了しました。
その終了時点で電池の充電量は「100％」の表示でした。

そして昨日、起動しようとACコードを繋がずに（充電池駆動で）電源オンのボタンを押したのですが反応せず、ACコードを繋ぐと立ち上がりました。
これが「充電池寿命が尽きた」という事でしょうか？
“バッテリーの突然死”でしょうか？

購入は2010年8月で、2012年の10月にも同じような現象が起き、延長保障で修理した経緯があります。
その際にバッテリーとACコードが新品になり、PCは初期化されて帰って来ました。
その時は購入から二年しか経っておらず、それほどPCを使ったとは思えず（充電も50回もしていない感じで）、充電池の寿命とは思えませんでした。
修理表には「検証の結果、ACアダプター、バッテリーの不良が原因のトラブルを確認しました。」とありました。
今回は「故障」なのか、単なるバッテリーが寿命を迎えた（もしくは突然死）のかどちらかが判りません。
ノートPCのバッテリーなんて、「充電回数500回～1000回」というのはアテにならないのでしょうか？

もう一つ。
一応、バッテリーが寿命を迎えたと考えての話なのですが・・
バッテリーを外してみると、バッテリー名が『AS09D70』で『11.1v 5600mAh/56wh』と書いてあります。
（でもPSEマークの横には、5.4Ahと書いてあります。写真参照。）

検索してみると、アマゾンでいくつもの互換電池と思われる物が売っていますが、電圧（11.1v）が同じなら、容量（mA）は7800mAhとかでも使える（使って大丈夫）なのでしょうか？
値段は4000～4500円くらいが多いのですが、一つ安いのがあって「2652(+配送料750)」というのがありました。

なるべくならお金もかけたくないので、安い充電池を使いたく思っておりますが、あまり安いのは、やっぱりマズイのでしょうか？
そのへんもお聞きしたいです。

以上、何卒宜しくお願いいたします。m--m

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