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c:>
の後に、
c:>win
と打ち、EnterでWindows98が起動しませんか？

c:>
はコマンド・プロンプトなので、プロダクト・キーは無関係です。
winは、win.comというWindowsの起動プログラムを実行するコマンドです。

しかし、XPプロフェッショナルとシールにあって、Windows98が入っているというのは奇妙な話です。

（補足について）
Windows98が入っているはずで、起動しないというなら、winコマンドで起動するはずだと思いましたが、Windows98も入っているかどうか怪しくなりました。
C:>dir
のように dir と打ち込んだらどうなりますか？
もしそのパソコンのHDDに何かが入っているならば、Cドライブにあるディレクトリ（今で言うフォルダ）やファイルの一覧が表示されるはずですが・・・。もしずらずらとディレクトリ名やファイル名が表示されるなら、それが何かは分かりませんが、何かは入っている、ということになります。何も表示されないなら、何も入っていません。
仮に、dirコマンドが有効で一覧表示されたとしても、それではMS-DOSパソコンとして使えるというだけで、Windowsパソコンとしては使えませんね。いまどきMS-DOSで動作するソフトなどないので、とても実用にはなりません。

同機の本来のスペックはつぎのようです。
http://www7b.biglobe.ne.jp/~direct1/archive/nx-station/nec/mate_2007s/me.html
VistaとXPが選べるようになっているようですが、シールから見るとそれはXPのインストールモデルでしょう。
それなのに、Windows98などと出てくるのはそもそもおかしいです。
リカバリ・ディスクは添付の場合と自分で作るのとを選べるようになっているようですが、もちろんリカバリ・ディスクはないのでしょうね。ということはリカバリ・ディスクは自作するタイプのものと思われますが、そもそも起動しないことには作成が出来ません。
以前使っていたユーザが壊してしまい、リカバリ・ディスクの用意もなく、ためしにWindows98を入れたらどうなるか、などとおもちゃにしたものの、動作しないので、中古ショップに持ち込んだ可能性が高いと思います。

いずれにせよ、「すぐ使える」と言われて「XPプロフェッショナル」というシールのあるものを買って、そういう結果なのですから、店に苦情を言って返品した方がいいですね。

（追記）
そのPCは、リカバリ・ディスク付きのものも選択できるようになっていたようですから、NECに相談して見れば、リカバリ・ディスクが購入できる可能性もあります。返品がいやなら購入してインストールしてみるのも良いかもしれませんが、仮にハードウェアの面で故障があるようなら、リカバリもうまくは行かないので、どちらが良いとも言えないです。