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ノートパソコンの寿命は総じて短いので、思ったよりも早く壊れることはあります。2年は短いですが、運が悪かったのでしょう。

故障の原因なのですが、一度は電源が入っている以上、ACアダプターの可能性は低いと思われますので、マザーボード側の故障だと思われます。デスクトップ/ノートを問わず、マザーボードの故障は、素人では直せないことが多いです。
部品の入手から、細かい半田付け、動作チェック等、少し考えても中々大変ですので、よほどの技術がないと無理でしょう。

修理代を見ると、継続使用か買い替えか、微妙なところです。少し予算を足せば買い替えることも可能ですので、一度、検討してみてはいかがでしょうか。以下に価格の一例を示します。
http://kakaku.com/pc/note-pc/se_22/

(追記)
電源が入ったり入らなかったりする場合は、ACアダプターの接触不良か、電源回路が不安定かだと思います。
バッテリーを抜き、ACアダプターのみで起動し、しばらく使用して、いきなり電源が落ちることがあれば、ACアダプターの接触不良が疑われます。この場合は、ACアダプターの交換で直るかもしれません。

可能性だけなら、ACアダプターの変圧回路が不具合を起こしているということもあり得ますし、マザーボード側の問題にしても、先に述べた電源回路の不具合の他、様々な要因が複合した結果かもしれず、正直、これ以上は分かりません。
この辺りの原因は、実際に修理する人以外は分からないでしょう。