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はじめまして♪
（毎回書出しを同じにしているので、御勘弁ください。）

まずは、外付けでの運用可能、おめでとう御座います。
さらに詳しい状況を書き込んで下さった状況から、内蔵HDD、又は内蔵HDDのコントローラがかなりヤバイ状況のように思われます。

外付け側から起動し、ディスクユーティリティーからHDDのフォーマットと言う選択の際にも内蔵HDDが認識出来ない（全く表示に出てこない）なら、基本的に手の打ようが無いと考えた方が無難です。
データレスキュー？ 私も実は購入して両経験が有るのですが、HDDを認識出来る範囲でしか基本的に使えませんし、無理してハード面からの認識と動作させても読み込めたビットのベタデータをバックアップ領域に書き込むだけで、FAT領域や起動領域以外が完全な状態ならまだしも、他もクラッシュしている状況では少なくとも私には手も足も出せずに諦めた経験が有ります。一応は工業大学の電子工学科で電算機研究会（今ならコンピ研かな？）だったんですけれどねぇ（苦笑）

Windows機でも起動用では無い内蔵のドライブがクラッシュしてから、ずーっと読み出そうとして異音が出て発熱しつづけ、最終的には起動HDDまで早期にクラッシュと言う経験は有ります（たしかWindowsMeの時代だったと思う。）

ここまで深刻な状況なら、かなり苦労はすると思いますが本体の開腹手術、HDDの取り出し、又は配線外しを考えた方が良いかと思います。HDDや電子回路の破壊は振動や熱が最も危険な敵です。せめて外付けからの起動で内蔵HDDとか周辺が静かなら長期的に考えて良かった可能性が高いのですが、現状報告を拝見しますとデータ救済どころか本体の破壊にも繋がりそうな危険性が疑われます。

私なら費用を掛けてでもAppleに送るか、かなり面倒でも自力で開腹手術を行なうか、、
過去の２０００年頃に購入したiBookは結局自力で開腹手術、HDD交換をしました。全く同じ製品の分解を解説したHPを全部印刷し、その手順通り、、、だったはずが、隠しネジの位置が違って数時間も悩んだりと言う経験も有ります。
さらに、交換HDDに欲を出して高速回転の大容量にしたらバッテリーは持たないし本体は熱い、結果的に３ヶ月程で再びHDDクラッシュ、その次は容量は大きくとも回転数と消費電力にも注目しオリジナルに近いと思われるHDDに再度交換、最初の開腹から組み立てまで８時間とはちがい、２度目は２時間チョイでハード面は完了しました。その後は順調に使えて、今も運用してます。（今は寝室の音楽再生機として利用中、ハード的に最大ガンバってもOS-X10.3まででした。）

御質問者様の現状では内蔵HDDを検査するたびに内蔵HDDに大きな負担をかけて、その動作のためCPUもフル稼働、HDD動作とCPU動作で電源部も負担が大きく成っている可能性が高いので、もはや切り上げる状態と思います。
開腹するか、Appleへ任せるか、これ以上本体に負担をかけて、本体にダメージがおよび、買い替えとなれば目も当てられなく成ります。（Macではそこまで壊した事無いのですが、私はWindows機はMe機とXP機の2台は壊しましたよ。まぁ、Macは趣味用で、Winはお仕事用なので買い替えては事務経費で対応、、とは言っても会社じゃなく個人事業主だから決算税務上では経費ですが支払う金額は私個人のお金が、、、）

もはや、内蔵HDDを本体から分離、物理的に外付けケースに入れても良いですし、単に中の配線を外すだけでも良いので、iMacの解体、じゃなかった、開腹を覚悟された方が良いと思います。

HDDの回転数が高いのは正常な情報を得ようと必死に動いている状況。それが持続しているクラッシュの可能性が高いHDDなら非常に危険性が高く他への影響も出てくる場合が考慮出来ますので、バックアップの可能性を低くする行為ですし本体の復帰不能な事態近付く状況ですので、早急に電源を落として、今後の対処を冷静に考えて下さい。