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>スマートフォン購入時に契約させられたもの

まず、これが、問題ですね。
mopitaマーケットから、インストールしたアプリ・サービスは月々の費用を取られる物があります。
もし、購入時に契約させられて、使っていないようであれば、解約してアンイストールしてください。
もしかすると、使わないのに、毎月、一定額を取られていませんか？
mopitaマーケット経由のアプリを全てアインストールした後、mopitaマーケットもアンインストールすれば、mopitaマーケットに関係した問題は無くなります（私は、そうしました。あれは良く無い物に思えます）。

androidで、もっともアプリが多く、かつ、インストールした後のフォローも確実なのは androidマーケットです。
無料アプリについては、android marketからのインストールが基本でしょう。

有料アプリについては、もし、auの携帯電話の料金でお金を払いたいなら、au one marketが有効です。
ですが、android marketにクレジットカードを登録してあれば、それらもandroid marketの方が有利です。

mopitaマーケットは、月々のサービス費用を取られる特定のコンテンツについてのみ有効です。
そうしたコンテンツを、是非、使いたいと思う場合のみ、使ってください。

>Androidマーケットで無料インストールして、mopitaマーケットでもインストールしていたら、
>(スマートフォン購入時に契約させられたもの)これは二重登録になるのでしょうか？

まったく同じ物であれば、二重にはなりません。後の方が有効です。

>Mopitaマーケットでインストールしたものは、ランチャーのダウンロードリストに無いのですが、
>リストに入れることはできませんか？;;

android marketの利用をお勧めします。

>マーケットごとに全く違うものなのか、

アプリは同じ物です。ただし、自動更新等の機能は異なります。
android marketが一番充実しています。

>どのマーケットでも同じアプリをインストールできるのか、

アプリは同じです。

>アプリごとに優先されるマーケットがあるのか、、わかりません…

そんな事はありません。お好きな所からダウンロードすればＯＫです。

補足にーーーー

それらのアプリに詳しく無いのですが、おそらくmopitaのアカウントで課金しているのでしょう。
お金を払って使いたいのであれば、mopitaで使ってください。
天気予報あたりは、他に無料の物が沢山ありますけど・・