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メールというのはなんというメールサービスでしょうか。
Gmailの場合、Googleアカウントを設定するだけで自動受信できます。
Googleアカウントの同期設定でGmailにチェックが付いているのであれば、回線にかかわらず（Wi-Fiでもモバイル回線でも）問題なく使えるはずです。

HotmailやOutlookメールの場合、MicrosoftExchangeサーバーで無いとプッシュ通知（新着メールが来たらすぐに通知される仕組み）は使えません。
メールの設定を確認してみて、IMAPやPOPになっていたらExchangeに変えてみてください。

Yahoo!メール（日本、アメリカ）の場合、IMAP IDLE対応のメーラー（メールソフト）でないとプッシュ通知されません。k9や、公式のYahooメールアプリなどを使ってみてください。自分が使ってみた感じだと、k9メールはIMAP IDLEが不安定な気がします。いろいろなメールアプリを試すといいかもしれません。