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auとソフトバンクは仕様が違います。
止まってたという意味がわかりませんが…ソフトバンクの場合、リアルタイムで通知は来ますが完全なリアルタイム受信ではありません。
稀に通知画面が出ても誤って鞄の中やポケットの中で押ささり、通知が消えてしまいメールに気付かず、メールボックスを開いたらメールが来てた！ということは、私自身何度も経験あります。
ソフトバンクであれば、@softbank.ne.jpでのやり取りの方がこのようなことはありませんのでこちらでやり取りしたらいかがですか？
ですので、彼女がメールに気づかなかったと仰っているのであればそれは嘘ではないと思いますが。
ちなみにauは、もう完全なリアルタイム受信対応しており、再設定すれば問題ないですし以前は1時間ではなく15分間隔での自動受信でしたよ…。