質問者が納得au版iPhoneのEZwebメールはご存知の通りメッセージアプリでMMSとして、メールアプリでEメールとして利用できます。
併用受信をしたい場合はメール側の「リアルタイム受信設定」を諦めれば可能です。
メールアプリはフェッチ(特定の時間間隔での確認)もしくは手動(アプリ操作時のみ確認)となりますがMMSはプッシュ通知なのでリアルタイムでの確認は可能です。
メール側は手動設定となりますがIMAP設定にてユーザ名とパスワード及び送信・受信メールサーバネームを入力・設定します。
ユーザ名とパスワードの確認方法...
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