質問者が納得基本的すぎて笑われるかもしれませんが....
バンパー左側にあるリザーバタンクに充分ＬＬＣが入っていますでしょうか？ここのプラは劣化しやすくすぐ水漏れをおこします。
私が１型のボロボロに乗っているときに水温計は上がるのに「ビービー」になりました、エンジン周りにＬＬＣが充分でもリザーバが空だと警告する仕組みのようです。
あとラジエーターキャップの劣化や社外品に変えている場合も同様の症状が出るみたいです。
http://asmic.com/rx-7/inf-RE.htm#007
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