質問者が納得燃料ポンプに問題があるように感じるのですが・・・
ぃゃ、燃料ポンプと言うよりかは、正確には「燃料ポンプ系統」です。
朝、１発目の始動は必ず不具合なく、通常に始動・・・とのことですから、燃料ポンプはしっかり働ける状態なのかな・・・と思うのです。
暖気が取れた後・・・ということですから、それに起因した問題で、最終的には（接触不良のような感じで）燃料ポンプが回ってくれていないのではないのかなぁ・・・というイメージは受けます。
２８万ｋものお付き合いがある車ですと、燃料ポンプの作動音って聞き取れたりしません...
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