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①どこのメーカーの物でもOS関係なく使用できます。
②ご自宅は光回線なんですね。
無線LANなどには直接関係ありませんが、通信機器は電気信号しか扱えないので、この機械で光信号を電器信号に変換して、電話やパソコンに通信をとどけるための装置です。

③インターネット回線は、どこにでもある物ではありません。回線を敷設し契約しなければ利用できません。
ご自宅は、NTTの光回線を敷設し、その光回線で電話とインターネットを利用しています。なので、NTT料金とまとめて支払いになっていると思います。
引っ越し先ですが、固定電話を使う予定が無くても、インターネットを使いたいならネット回線は必要です。
また、ネット回線自体があっても契約しなければ利用できません。

ルーターは、1つのネット回線を複数の機器（パソコン・ゲーム機・スマホなど）に分配する装置です。
これは利用者が任意に使用するものなので、実家のを持っていこうが、新たに買おうが、ネット利用料金には一切関係ありません。
ルーターをレンタルしているなら、その分は料金に加算されますが、家電店・パソコン屋などで買う方が多いと思います。安ければ数千円からあるので、レンタルの数か月分です。

④可能です。ただし、上にも書きましたが、アパートにネット回線が来てなければつなぎようがないです。
⑤Wi-Fiルーターとなっていればどれでも構いません。
例えばバッファローという会社の無線LAN（Wi-Fi）ルーターだと、AOSSというワンタッチ設定に対応しているので、PSPなどを簡単につなげられるとか、それぞれに特色があるのでお好みのを選べばいいです

ちなみに、固定回線以外の選択肢として、モバイル回線も可能です。
①スマホで「テザリング」・・・これは、スマホにネット接続させて、スマホとパソコンなどの間はWi-Fi通信でつなぐ「テザリング」という方法。スマホがネット使い放題（テザリングもOKとなっていれば）なら、別料金は発生しない。

②ポケットWi-Fiなどモバイルルーターを利用する。①と同じようにモバイルルーターという機械が電波でネットにつながり、パソコンなどにWi-Fi通信でネットを中継する機械。携帯各社のデータ通信や、WiMAX、イーモバイルなどいくつかの業者があります。

なお、モバイル系は、電波によるサービスなので、対象エリア内でないと使えませんし、エリア内でも受信状況が悪いと速度が大幅に遅くなり使い物にならない場合もあります。また、電波の有効利用の為、「使い放題」となっていても、通信データー量を制限され、超えると通信速度が極端に遅く制限される場合もあるので、契約の際は注意が必要です。