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＞こちらは今現在pc、スマホ、「ゲーム機器全般」に問題なく接続できています。
「ゲーム機器全般」ということはDSやwiiなどの他機種は接続できるということですか？
電波がゲーム専用なので多機種が出来ればPSPでも出来る事になります。

＞ワイヤレスLAN設定での検索でSSIDが検索で出てこない状況
PSPでワイヤレス状態になっていますでしょうか？（なっていたら他の方が所有すているルーターの電波も受信してますか？確認だけで接続はしないように）
スイッチはLボタン右にある「WLAN」を右に入れて、再度検索をしてください。（左側になっていると受信が出来ません）

補足）
書いてるメモが接続済みのゲーム機と一致しているとは思っていますが
＞WEPをWPA-PSK(AES)などを選択してみるなど
画像と同じルーターで、SSIDもあっているとは思いますが、パスワードが正確に分かって無いと接続が出来ないので、ログインしてなければ一度ログインをして確認をしてください。あと、ルーターの電源をきっていなければ一度切って再度接続してみてください。

接続済みのゲーム機と同じSSIDなのにPSPだけが接続出来ないとなると、一度連絡をしたほうが良いかもしれません。

力になれなくて申し訳ないです。