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１．TVの解像度は1366 x 768です。
表示以上の解像度を設定すると当然映りません、うっかりOKしてしまうと戻らないので注意が必要です。
PCの設定でぴったり合う解像度が無ければ解像度の数値以下のの解像度で一応映るはずです。
ドライバーを最新のものに更新すれば上記の解像度は出てくるかと思いますが、HPを調べたのですが確認出来ませんでしたので詳細はメーカーに問い合わせるしかないかと思います。

自己責任になりますが、インテルのサイトにある最新のビデオドライバーをインストールすればより多くの解像度に対応されている可能性はあります。ですが、基本的にメーカーが提供しているもの以外はサポート外です。
http://support.intel.co.jp/jp/support/graphics/intel865g/index.htm

最後の手段としては、AGPスロットがあるのでグラフィックカードを増設する方法もありますが、これも自己責任になってしまいます。
筐体の写真を見る限り通常サイズのグラフィックカードが増設出来ます。新品ではちょっと割高になってしまいますが、通常サイズであれば中古もまだ入手しやすいです。購入する場合はDVI端子がついていてなるべくチップが新しいものを選んだ方がいいです。
解像度に関しては店員さんに確認を頼むといいでしょう。
http://www.dospara.co.jp/5goods_parts/parts_list.php?sc=URIAMT_ASC&br=31&sbr=31&h=d&f=d&m=parts2&lf=0

２．120GBのHDDに交換をし、OSを再インストールするといった流れでいいのでしょうか？
それで問題ないかと思います。
付属のリカバリーを使うならば特に設定も必要ないと思いますが、交換前にリカバリーの方法を再度確認した方がいいと思います。
それと、PCは静電気で壊れる可能性がありますので、冬場なのであらかじめ金属を触るや手を洗うなどで静電気を逃がして下さい。
あとPCを開けたついでに目に付いた埃などは掃除すると良いかと思います。

３．HDMIのメリット
デジタル接続だと当然綺麗です、我が家でもREGZAを持っておりますがくっきり表示できます。
大きい画面であればあるほどデジタル接続したほうが綺麗ですし、にじみも殆ど出なくなります。

↓こんな記述がインテルのHPで見られました。アナログのD-sub15のケーブルではHDの解像度が表示出来なかったかもしれません。
「VGA ケーブルを使用して、ディスプレイを接続している場合には、表示可能な解像度を確認してください。
ディスプレイ（特にTVはHDTVなど）によっては、デジタルDVI やHDMI、ディスプレイポート等のコネクターを使用することで標準でより大きな解像度をサポートしている場合がありますが、VGA コネクターを使用した場合には1024ｘ768 等の低解像度でしか表示できない場合があります。」
http://support.intel.co.jp/jp/support/graphics/sb/CS-022544.htm#cannot_select_larger_mode