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まず、長々とスペックを載せていらっしゃいますが、パソコン名がわかりませんので機種が特定できません。ゲームできますか？の質問でしたらこれでばっちりでしたが、今回は録画云々ですのでインターフェースをしっかり把握したいところ。なので機種名がはっきりした方が、調べられるのでよいですね。

で、インターフェースがこれであっているとして考察しますと、キャプチャー関連のものを使わないと無理かと思います。
ノートPCに映像入力端子がついているものを見たことがないですし、この情報をみる限りありません。すべて映像出力です。

この場合、ノートPCですからキャプチャーボードはもちろん使えませんのでUBSキャプチャみたいなのをつかうのでしょうけど、果たしてそんなもので高精細な画質が得れるのかは不明ですな。

むしろゲーム機とテレビ、テレビとレコーダーの接続方法を見直した方が早いかと思います。

補足を拝見して・・・

う～ん、ノートＰＣで録画ですか。ゲームのことですよねぇ。
何をどう考えても、パソコン単体では無理なんですよねぇ。見たことないんですよ、デスクトップだろうが、ノートだろうが単体で映像入力の機能を持っているものを。どんなグラボを積もうが、オンボードチップを使おうが、画像は出力オンリーなんですわ。
ただ、テレビチューナーを積んでいるものはアンテナの入力がありますから、昔のファミコンなんかはアンテナ部分につないでいたのでつなげるとは思いますが・・・
仮に、もう一台画面を用意して、そこにゲーム画面を映しても、それがＰＣにつながっているわけではないので録画は無理だと思いますし。
やっぱりどう考えてもこういったものを使う方法しか思いつきません。
http://news.kakaku.com/prdnews/cd=pc/ctcd=0555/id=12166/
Blackmagic Design、HDMI対応ビデオキャプチャ
しかも、今質問を読み直したところ、テレビに映っている映像をパソコンで録画できないか？ということですので、
テレビ（ゲーム機）のＨＤＭＩ出力→キャプチャのＨＤＭＩ入力→ＵＳＢでパソコンへといった形になるでしょうね。

お力になれなくて申し訳ない・・・

あと、最後に、ＤＶＤレコーダーでＨＤ画質（1920×1080の解像度）の録画は根本的にできないと思われますが。ＤＶＤｖｉｄｅｏだと720×480の解像度で録画になると思うので、そりゃ画質は落ちますわな。