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制限付きアクセスの原因は多様ですので、正確に環境をつかみたい問題です。
説明の内容ですと、いまノートパソコンと無線LANルーターがどのように接続されているか、よくわからない（まぎらわしい）ですね。

ノートパソコンを有線でAtermWR8160Nに接続すれば、インターネットに制限なく接続できるか、というのがひとつめの切り分けポイントです。
その点、補足をお願いできますでしょうか。

-- 補足 拝察いたしました --
同じルーターで、有線接続は問題ないが、無線接続に問題が生じる場合、次の切り分けの第一選択肢は
・電波の方式が合っているか(b/g/n)
・暗号化方式 や セキュリティキーが合っているか
・MACアドレスフィルタリングになっていないか
の順に確認することになります。

ノートPCの型式がわからないのでなんともいえませんが、AtermWR8160Nは 11b/g/n対応で比較的 あたらしい機種ですから、ノートPCが極端に古い場合で、なおかつ AtermWR8160N用のUSBスティック（いわゆるUSBアダプタ）を使ってない場合（ノートPC内蔵など）は、そもそもAtermWR8160Nで設定した電波の形式では接続できないことがあります。
ただ お使いのPCはWindows7をインストールされておられるようなので この心配は少ないですが、なお念のため、ノートPCで使用されている無線LANアダプタが b/g/nに対応しているか確認する必要があるでしょうね。

次に暗号化方式およびセキュリティキーですが、AtermWR8160Nの側面に プライマリSSIDと セカンダリSSIDが記載されていると思います。
これの末尾 -g と-gwのどちらに接続しているかはたいへん重要で、これをごっちゃにしたり まちがえていると、制限接続となります。
今回 可能性として最も高いのはこれです。
基本的には まずノートPCで接続しているのが、 プライマリSSID(末尾-g）であることを確認してください。※
そして入力する暗号化キーは正確に入力してください。
※ノートPCや無線LANアダプタが極端に古い場合は AES に対応していないこともあるので、その場合は-gwのほうに接続します

これらに問題がない場合、最後に考えられるのがAtermWR8160NのMACアドレスフィルタリングです。
これが有効になっている場合は、お持ちの無線LANアダプタ（またはノートPC）のMACアドレスをAtermWR8160Nに登録する必要があります。
初学者にいきなりこれは難しいので、いったん AtermWR8160NのMACアドレスフィルタリングを解除して接続を試み、成功したら、AtermWR8160Nの接続状態に表示されているMACアドレスを あらためてAtermWR8160Nに入力するとよいでしょうね。

わからないことがありましたら、回答リクエストしてください。
うまく接続できるといいですね。