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他社のインクというのは、キヤノンとは全く関係のない会社が、キヤノンのインクに似せて作ったものです。
似ていても、キヤノンのプリンターとは全く関係のない偽者のインクです。そんなものを使ったらプリンターは悲鳴を上げて壊れます。
キヤノンのプリンターと偽のインクは、互換性が全くないのですから。
キヤノンのプリンターは、キヤノンが作ったインクでのみ、ちゃんと動くように設計されています。
偽会社が作ったインクのパッケージに惑わされず、ちゃんとキヤノンが作ったインクを使ってください。偽インクを使ってプリンターが壊れた人というのはたくさんいるようですよ。そういう風に痛い目を見た人達は、ちゃんとキヤノンが作ったインクを使い始めています。つまり、安さに惑わされていないということです。
故障して修理に出したら、何千円とかかりますでしょ。ちゃんと普通のインクを買っていた方が、どれだけ安上がりか。
修理に出すにせよ、買い換えるにせよ、今後は目先の安さにつられないでください。偽会社の謳い文句に惑わされないようにしてください。

インクの交換と電源が入らなくなったのは関係はないと思います。
単なる偶然で故障したんですね。

まぁ、どちらにしても修理に出すしかありません。
個人で分解してたとえ悪いところがわかったとしても部品が手に入らないので、個人での修理は不可能です。

ただ、先の回答者様も書かれてるようにメーカーサポート切れがまじかなので買い替えも視野に入れながら、修理に出すかどうかを考えてはいかがでしょうか？

最近では安いものなら２万円も出せば新しい複合機が買えます。

MP610だと思いますが、MP610は今年の7月でサポートが終了するほどの機種ですから、既に数年使われているのだと思います。サポートへ電話をして直接聞けば明確に答えてくれるでしょうが、修理に出すことになるでしょう。
http://cweb.canon.jp/e-support/rc/tel/reppersonal.html

修理よりも買換えをお勧めします。
既に発売から 5年以上経過して居る機種です。
今回修理しても次回仮に故障した場合、
修理は不可能です。