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原因はおそらくバックライトのインバータ回路に使われているトランスが絶縁不良になって逝ったことが考えられます。

それ以外ならバックライトは一般的には冷陰極管（蛍光灯）を使っていますが、この蛍光灯を点灯させるための昇圧トランスは実際に交換できるような代物ではなく、トランスのコイルを巻きなおしてくれる業者にでも頼まない限り再生は不可能でしょう。
トランスも物にもよりますが直径３ｍｍ程度のフェライトコアにコイルが巻いてあるような極小の部品のため一見トランスに見えないものもあるので、このようなものなら部品の入手は不可能だと考えられます。
最近の小さい画面のものならＬＥＤを使うこともあるようですがその場合でも充分な輝度を得るために昇圧トランスを使ったものもあるのでその場合も前述同様です。

これはあくまでも、トランスという１つ部品について述べていますが、その昇圧をするための回路、一般的にはインバータと呼ばれる回路もダメージを受けていると思われます。それらを特定することは殆ど困難でしょう。

ここまでの回答では全く役に立ちませんが、既に分解交換などメーカー保証を捨ててまでの復活の道を探っているようなのでできるかどうかはわかりませんが、表面実装用高輝度白色ＬＥＤを液晶の４つ角にねじこむスペースがあるなら、ＬＥＤサイドライトという強引な手段で復活させて見ても良いでしょう。ただし配線や電源の連動などについてはご自身でお調べになってくださいね。中国製の偽物プレーヤーの液晶はバックライトではなくＬＥＤのサイドライトを使っているものもありますからもしかしたらそんな手段で復活させられるかもしれませんね。
ＬＥＤを使う場合は光が拡散しない比較的狭い範囲に光が集まってしまうので、直接ではなく光を拡散させるための工夫が必要になると思います。

そんなわけで探してみたら液晶の蛍光灯をＬＥＤで復活させた猛者がいらっしゃいました。

http://www.lcv.ne.jp/~aiaki/lcd/lcdled.html

参考にはならないかもしれませんがネタというかアイデアとしてはこんな感じでの復活を試してみてはいかがでしょうか？