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設定されたエンジニアの方が解らない状態でしたら文面だけでは難しいです。(すみません、悪い意味ではありません)
そういった意味であくまでも推測になることをご了承願います。

「ソフトが終了できない」
「タイムマシーンのバックアップがいつまでも終了しない」
これは別のところに問題があるような気がしますが、
Command＋Option＋ESCで｢応答なし｣と表示されているアプリケーションを強制終了してみて下さい。何か動作し続けているウイルスソフトなどがあるのではないでしょうか？

他で考えられるのが外付けHDD以外の周辺機器など設置されていませんか？もし別ドライブなどが接続されている場合TimeMachineバックアップ項目に含まれている可能性がありますので、
TimeMachine環境設定→オプション→(＋)をクリックでバックアップから除外項目に加えて下さい。

TimeMachineでエラーとなる事は実際多々あり、私も過去にいろいろ経験しましたが、仕方無かったと思うのですが｢無理矢理外付けの電源を落とした｣が原因ではないかと思います。
TimeMachineは差分バックアップになりますので変更部分を上乗せする形になりますので、おそらく今のままではこのまま改善はしないと思います。
一度フォーマットして
TimeMachine環境設定を開きTime Machineを｢切｣にする
→｢ディスクを変更...｣をクリックする
→いままでと同じディスクを選択する
→オプションで除外項目を設定
→TimeMachineをオンにする
この流れで再設定されるのが最善策ではないでしょうか？

初回バックアップだけは結構時間がかかります。
これだけは我慢していただければ次回からは数秒〜数分でバックアップは取れるはずです。


もし、バックアップ終了時にダイアログにて「エラー発生 i」と表示が出た場合はその i をクリックすると詳細が解ります。
｢バックアップボリュームにファイルをコピー中にエラーが起きました｣
と表示される場合は
MacintoshHD→ライブラリ→Preferences→com.apple.TimeMachine.plist を削除→Macを再起動→TimeMachineのバックアップ先をもう一度設定すれば差分のバックアップが始まります。除外項目などは再度設定して下さい。

普通にiMacと外付けHDD｢だけ｣が設置されているのでしたらこれで直ると思いますが…。

余談ですがTimeMachineはHDDの名称を変更したという些細な事でエラーになる事があります(過去になりました)ので、エラーになった場合は面倒ですがTimeMachine環境設定でディスクを指定しなおすだけで直る場合が多いので設定してみて下さい。