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質問者さんが挙げている２機種は、「２５cmの距離でズーム１４倍」は無理です。

仕様表の、「撮影距離」を見るとわかります。
たとえばキヤノンのA810だと、

オート：3cm～∞（W）／1.2m～∞（T）
マクロ：3cm～60cm（W）

とあります。
ワイド端（W）なら3cm、望遠端（T）なら1.2mの距離から撮れることがわかります。
マクロはWしかかかれていないので、ズームは無理でしょう。
そもそもこの機種はズーム倍率が5倍で、14倍もありません。
(最悪、広く写ってしまった写真の必要な部分を切り取ればいいかもしれませんが・・・)
ちなみに、「ズーム倍率＝どれだけ遠くまで大きく写せるか」というのは一応その通りなのですが厳密には違うので注意が必要です。

コンパクトカメラで高倍率ズームが付いて、望遠端で近くが撮れる機種はほとんどありませんが、リコーのCX6が質問者さんの希望に近いと思います（100%条件は満たしませんが）。
ズーム倍率は10倍ちょっと、望遠端で28cmから撮れます。
ただ、生産終了とあるので、買うなら在庫があるうちに急いだほうがよいと思います。

「電池が利用できる」は、単３乾電池で動作するという意味だと思いますが、最近は、この条件を加えると、極めて限られた、ベーシックな機種しかほとんど選べなくなってきています。あきらめるか、最悪、USBで給電できるものを選ぶとよいでしょう(上記のリコーは当てはまりませんが)。私も長い間、単３電池駆動にかなりこだわっていたので気持ちはわかるのですが・・・。