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ミニバン（ワンボックス）はセダンに比べて車体重量が重いだけでなく、フル乗車だと、乗車人数も多くなりさらに重量が重くなります。
車が真っすぐな道だけを走るならまだ良いのですが、山道のカーブや交差点を曲がる時には外側に飛び出そうとする「遠心力」がかかります。この遠心力は重さに比例して大きくなるので、ミニバンなどの重量が重たいものは、どうしてもスリップしやすくなります。
ですので、さらに、駆動輪（前輪）だけ巻くと、遠心力がチェーンを巻いていないリアタイヤに集中してしまい、踏ん張れなくなり、さらにスリップしやすくなってしまいます。四輪ともに巻けば大丈夫です。メーカーの注意書きはそういう意味です。
また、遠心力は速度の二乗に比例しても大きくなるので、速度にはより注意して走行して下さいね。
無理な運転で無ければ問題はありません。
【追加】
金属と非金属の違いは、金属の方がグリップはよくなりますが、早いスピードでは走れませんし、タイヤが損傷する危険も大きいです。