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要するにアンテナ信号がまずDIGAに入り、そしてDIGAからテレビに送られるわけですから、DIGAの電源を抜けばDIGAの中を一切電気が流れなくなりますので、テレビにもアンテナ信号が行かなくなり、テレビが見られなくなるのは当然だと思いますが。
どうしてもレコーダーの電源を抜きたいのであれば地デジ・BS信号とも分配器で二股に分けて、テレビとDIGAに別々につなげばいいでしょう。ただし、レコーダーのようなHDD機器は頻繁にコンセントの抜き差しを繰り返すとHDDの寿命を大幅に縮める可能性がありますが。

P.S.
ブースター機能を内蔵したレコーダーは普通にありますが、単なる分配機能であってもパッシブ型とアクティブ型があり、アクティブ型だと電源がないと動作しません。例えばレコーダーの電源が入っている時はレコーダーにアンテナ信号を供給し、電源オフ時は電気的に回路を切り換えてテレビ側に直結して内部のノイズを軽減する機能などがあると、電源を抜くと一切の回路の切換が不可能となり、信号が流れなくなると思われます。
レコーダーは分配器ではありませんので、分配器に電源が不要だからと言ってレコーダーでも不要という事にはなりませんし、そもそも分配器と動作が異なっても、それは当たり前の話です。