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Ｄ５１００で、秒間４コマの連写をする場合、メニュー内のノイズ低減や歪み補正機能をOFFにしないといけません。（取扱説明書２４８p中断を参照）
また、Ｄライティングの設定も、標準にした方が良いでしょう。

シャッタースピード優先で早い速度にしても、連写速度が速くなるわけではありません。
「・・・被写体が暗すぎますとの表示が出て・・・」 と言うことは、「貴方が設定したシャッタースピードでは、絞り値の調整を適正露出になるように、カメラがコントロールできない状態」 と言うことです。 シャッタースピードをある程度まで遅くしてください。（露出補正を使用するのも、有りですよ）
曇り空でも、ＩＳＯ感度をＩＳＯ４００までにすれば、十分な速度が得られるはずです。 ＩＳＯ・１６００を越えると、高感度ノイズ低減が自動的に適応されますので、注意しましょう。

むしろ、絞り優先モードで絞り値をコントロールして、カメラの適正露出と判断するシャッタースピードをコントロールした方が良いですよ。
一番良いのは、マニュアルモードで、ファインダー内下に表示される”露出インジケーター”を見ながら、絞り値とシャッタースピードを、＋－０に成るように設定してください。

記録画質ですが、ＪＰＥＧ・ＦＩＮＥで撮影するようにしましょう。 ＲＡＷ記録を併用したりすると、カメラのバッファー容量が直ぐに一杯になり、連写速度を損なってしまいます。

更に、通常はピントが合焦しないとシャッターが切れません。 連写の場合ＡＦ－Ｃを使用すると思いますが、ＡＦ－Ｃに設定するときは、カメラメニューのカスタムメニューから 「ＡＦ－Ｃモードの優先」 で、レリーズを選択すると良いですよ。 多少ピントが合わなくてもレリーズの方を優先するので、連写速度を損なう事は無いと思います。

ＡＦポイントですが、ＡＦが迷わないように 「シングルポイントＡＦ」 にしましょう。 連写速度を気にするのでしたら、技術を要しますが、ＭＦ操作で撮影すると良いです。

まず、ファインダー内の露出インジケータ（露出補正レベル表示）を、必ず確認するように心がけてください。

まさかとは思いますが、ライブビュー撮影で、「連写が遅い・・・」 と言うわけでは無いですよね。
Ｌｖ撮影で、高速連写を望むことは、しないようにしてください。