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フラッシュはしっかり発光してますので、発光部の一部か経路を何かで隠してらっしゃる様に見受けられますね。
こういった事は設定などではできませんのでカメラの構え方や持ち方（多くは指、手等）、ストラップや帽子、被り物、前髪、その他諸々を撮影前に確認すれば防げると思います。

変な形で陰になっているので何で隠しているかは判断付きませんけどね。
ミニーの足、胴、左腕、顔の左下半分、ステンレスの柵とミニーが左手を添えてる柱？、画面右の椅子の背もたれ、ミニーの右側の背景、スカートの裾よりも下の床には、フラッシュ光が当たっています。
フラッシュ光と定常光（その場所の照明）のタングステン光（電球色）の色温度が違うのでわかっていただけると思います。
画面の上２／３位から左の上から２／３位の位置までにあたるフラッシュの光を何かが遮っていると言う事ですね。

必ず発光させるには取説を読んでください。モードによって使える使えないも出てきます。
基本的にはＰＳＡＭモードで稲妻のフラッシュマークでフラッシュをポップアップさせれば発光します。
http://www.nikon-image.com/support/manual/d_slr/D5100_NT(10)03.pdf

電球色の照明下で撮影する場合に通常に近い色合いで撮影したい場合はホワイトバランスを電球色に設定しましょう。
その時はフラッシュは発光させてはいけません。フラッシュ禁止で撮るとオートでも結構抑え目に撮れたのではないかと思いますが・・・定かではありません。これも取説読みましょう。
今回、電球色の色味が強いのは、フラッシュを発光させる設定になっているのでフラッシュ光にホワイトバランスを合わせてカメラが撮影しているからです。しかしフラッシュ光は遮られている為に電球色が強くオマケに暗い写真に仕上がってしまったと言う事です。
フラッシュ光は晴天の昼間の色に近くそれに比べてタングステン光（電球色）は黄色（オレンジ、アンバー等々）ですからね。光源色（色温度と言います）が全く違います。

取扱説明書５０・５１ｐを参照して下さい。

撮影モードによって、設定できるフラッシュモードが決められています。
前の回答でもお答えしましたが、絞り優先モード（Ａ）で、「後幕発光・スローシャッター」 を選んで撮影してみましょう。 この時のＩＳＯ感度は、高感度ノイズが許せる範囲まで（１６００位でも良いでしょう）上げてください。

後幕発光・スローシャッターを使うと、背景も考慮してカメラがフラッシュの発光量を決めてくれます。

また、簡単モードですと、「夜景・ポートレート」 が、添付された写真の状況に類似しているので、試して見るのも良いでしょう。

＝追記＝
画像を貼り付けるために、再投稿しました。

添付画像を、試しにカメラ付属ソフトの ViewNX 2 で調整してみました。
画像をViewNX 2で開き、画像を選択して、ツールバーにある 「エディット」 をクリックしてください。
画像が表示されたら、右側にある調整パレットの、「明るさ」 を、わずかに+補正し、「シャドー」 持ち上げてください（+に調整する）。
これだけでも、かなり写真がよくなると思いますよ。

このほかにも、Photoshop等の画像処理ソフトを使用すると、光源による色合いなどを有る程度調整は出来ます。

ちなみに、スカートの部分が光って見えるのは、ドレスの生地が光沢の有る生地のためです。

仰るとおり、光が当たってないですね。

大きなレンズが付いていませんか？

レンズやレンズフードじゃないにしても、何かがストロボの光を遮っていますよ。 この構えからして、まさかストラップが邪魔していませんよね？

貴公は少しストロボ発光のメカニズムに付いて勉強する必要があるのかな。そしてストロボ撮影は内蔵ストロボをポップアップ状態にしておけば常にストロボは発光しますよ。ただ一度ストロボを発光して撮影したらチャージする時間が数十秒間必要ですから、稲妻のストロボ撮影OKのマークを確認して次の撮影をして下さい。また内蔵ストロボは発光位置が低い為にカメラのレンズで影になって均一にストロボ光が被写体に届かない事もあると取り説に記載がありますから内蔵ストロボ発光の注意事項を精読して下さい。また連続して撮影したい場合とか大光量が必要な場合には外付けストロボを購入して下さい。少し高額ですがSB9１0が良いと思いますが。決して故障でもなくトラブルでもなく貴公の使用方法が間違えているという事ですよ。何か参考書を購入されてストロボのメカニズムを勉強して下さい。

縦撮りではフラッシュの方向が右か左になるので、この被写体を撮るにおいてはフラッシュが左になるよう撮ればよかったかと思います。
おそらくこの写真、グリップを下にして、つまりストロボ発光部が右になってますね。レンズ自体が照射角の陰を作り、左側に光が届かなかったのと、金属の柱にストロボ光がモロあたって反射したため、ＴＴＬ自動調光によって光量を減光したかと思われます。ゆえに、ストロボはちゃんと光ってる。

ストロボ撮影においてはＷＢはオートかデーライトでＯＫです。状況からしてタングステン光源ですが、それでフラッシュ撮影すると妙に青くなります。
ストロボ発光しないのであればタングステン灯のＷＢでいいと思いますが、この状況ではかなりシャッター速度は遅くなると思われますので、感度を上げる必要もあるでしょう。

他の原因か知れませんが、メーカーや機種によりますが、広角レンズ（ズームレンズ等）でもフードを装着して内臓ストロボを使用するとストロボを発光してもフードが影になり影響が出ます。取り扱い説明書の内臓ストロボ使用方法について確認してみてください。