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変換コネクタを間違えて購入されているように思います。
T-01Dの画像をHDMIで出力するには、TypeD対応のmicroHDMI端子を備えたケーブルが必要になります。

＞日頃充電する場所に接続してます
ここはmicroUSB端子です。
T-01DのようにHDMI端子を備えたスマホはUSB端子からの映像及び音声の出力をサポートしていないことが多く、ここにに購入された変換アダプタを使ってHDMIケーブルを接続しても、映像や音声信号を出力することができず、テレビで映像を観る事はできないのです。

＞隣は何の接続の為にあるのかはわかりません
この「何の接続かわからない」端子が、まさにHDMI出力端子です。
ここにオスのmicroHDM端子にケーブルを接続してテレビに映像と音声を出力します。

質問者様が購入された変換コネクタは完全に無駄になってしまいますが、新たにマイクロHDMI(TypeD)端子を備えたケーブルか、変換コネクタを購入するしかないと思います。
一例として下記のような物がありますので、参考にしてください。

＜マイクロHDMI変換アダプタ＞
http://mobile-goods.jp/products/detail.php?product_id=1815

以上、参考になれば幸いです。
長文、駄文、ご容赦ください。