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各ドアには鍵の開け閉めを実際に行うドアロックアクチュエーターと呼ばれるモーターが組み込まれた電気部品がついています。

『直にキーを差し込んで回してみると、一旦開くのですが、キーを戻すと、勝手にロック状態に戻ってしまいます』という状態からもアクチュエーターが機能していないことが明らかです。
しかし、すべてのドアが開かないとなればアクチュエーターが原因ではなさそうですね。運転席の鍵だけ開かない、鍵で直接回しても一時的にしか開かないということであれば運転席ドア内のアクチュエーターが故障している・・・と判断できるのですが。

キーレースのヒューズはどうでしょう？飛んでいませんか？もし飛んでいればどこかのアクチュエーターが故障しかかっていて（故障していて）過電圧がかかりヒューズが飛んでいる可能性もあります。
ですが、ハザードのアンサーバックが返ってくるということであればヒューズが切れいている可能性は低いですね。ヒューズが切れていればアンサーバックも返ってこないと思いますので。

となれば各アクチュエーターに信号を送っているコンピューターの異常が考えられます。（このコンピューターは車のメインコンピュータとは別でドアロックを専門に制御しているコンピュータです（（車種によってはパワーウィンドウやドアミラーも一緒に制御しています））ので走行には問題ありません）
先にウンチクを述べましたが、このコンピューターの異常であればさっきのウンチクはすべて説明がつきます。

ここまでつらつらと書いてきましたが、私はインプを所有したことがありません・・・私の所有する車に当てはめて書いてみました。しかし、車は車種が違えど機構は皆同じようなものです。

これを交換するとなると私の車でディーラー作業工賃込で約６万円ほどかかります。ネットなどで部品だけ購入しDIYで直せばもう少し安くなると思いますが。
ちなみに私の車は外車です。外車で６万円なので国産車ではもう少し安くなるかと思います。