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ＣＸ５を使ったわけではないので、説明書から類推します。

まずピントを合わせるのが、あまり望遠が効かないカメラでは困難で、地上の遠景に合わせてからマニュアルフォーカスに切り替えたりするのですが、幸いにもCX5には無限遠を設定する機能があります。
使用説明書84ページにある撮影設定メニューのフォーカスで∞にするだけです。
次に露出ですが、CX5は望遠端で35mm版300mm相当の望遠で、月は画面の中央に小さくしか写りません。
デジタルズームは使わずにＰＣでトリミングするとして、超解像ズームを使った方がよいか使わない方がよいかは実際に両方試してみるとよいでしょう。ともかく画面の一部だけが明るく、周囲が暗い条件なので、画面全体の平均的な明るさを適正にしようとすると、月が露出オーバーになります。（月は日なたの物体ですから、夜の撮影で夜景モードなどと思わない方がよいでしょう)

通常はマニュアル露出でいろいろ加減して撮影したいところですが、CX5にはマニュアル露出機能がありません。
自動露出とマイナス補正という手はありますが、CX5の±2の範囲ではまず足りません。
あとは
・スポット測光でうまく月に露出をあわせることができるかどうか(使用説明書85ページ)
・フォーカスは無限遠固定として、AEロック機能で街灯や手元のライトなどに露出を合わせてなんとかなるかどうか(使用説明書61ページ)
・手前に何もなければ、意図的にフラッシュを発光させる手もあります。月にフラッシュが届くわけもなく、フラッシュ自体は何も照らさないのですが、結果的にシャッター速度が速くなり、月が露出オーバーにならないという可能性。

ホワイトバランスは、屋外晴天に固定すると、高い月は白く、地平近くの月はやや黄色く撮れます。
より黄色みを付けたいなら曇天に、青みを付けたいなら白熱灯にします。

月は拡大具合(望遠とトリミング)によっては日周運動による被写体ブレが見えますから、三脚を使ってもシャッター速度は速めにする必要があり、手持ちと三脚撮影の差があまりないのですが、三脚を使った方が楽でしょう。

レリーズやリモコンがないので、三脚撮影時は２秒セルフタイマーを使うとよいでしょう。

夜空に浮かぶ雲というのは、どういう感じかがちょっとわかりません。
あまり露出をかけすぎると、空が明るくなってしまうとは思います。