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10年ほど前に、ニコンD1で同じ様な経験をしました。
立山の室堂で未だ雪の有る時期でしたが、早朝シャッターをいくら切っても、出来たデータは真っ黒！。現場では壊れたと思いましたが、下山後温度が上がればまた正常に写る状況で、早々にニコンのサービスに持ち込んで調べてもらいました。
当時約5日間ほど掛かって返事が返って来て「電力低下でカメラを稼働させる電力は有るが、画像を作り出す電力が無い」と言う事でした。あと対応最低温度も0度程度と言う事で、非常に驚きましたし、弱いんだなあぁとも思いました。
その後、ファームアップで電力の少ない電池では稼働しない様に変更されていました。

多分お持ちのα7も同じ状況だと思います。
なるべく新品の交換電池を2-3個持つ様にして、ポケット等で冷えない様にしながら使うしか無いと思います。