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背景にピントが合っている → フォーカスポイントをカメラ任せにしている？
フォーカスが遅い → 暗い場所のため、ピント合わせに迷っているだけ。また、ピント位置をどこにしたらいいかがカメラ任せなので、余計に迷っている状態
AF-Cでシャッター優先モードになっているため、ピントが合っていなくてもシャッターが切れてしまう。（わかって使うぶんにはいいですが、質問者さんには向いていなさそうです）


アドバイス

使用カメラがD7000なら、ISO感度自動調整は不要です。
ISO1600に固定し、フォーカスモードはAF-S。
フォーカスポイントは中央１点で大丈夫です。（カメラ任せではいけません）
ダイヤルはマニュアル（Ｍ）モードにし、絞りは前面ダイヤルを回してF2.8にします。
シャッタースピードは1/400に合わせます。

うまく撮れた写真の撮影データがISO800、F2.8、1/200なら、上記設定で「同じ明るさ」の写真が撮影できます。
感度を上げた分シャッタースピードを速くしているので、手ぶれ、被写体ぶれの影響をさらに抑えることができます。

ぶれぶれ写真になるくらいなら、多少のノイズが乗ったとしても感度を積極的に上げて歩留まりを挙げることが先決です。
D7000ならISO1600程度で「台無し」になるほどのノイズは乗りません。

これできちんと撮影できないのなら、感度を更に上げてシャッタースピードを稼いでください。


ちなみに、純正VR70-200mmは非常に優秀なレンズです。
II型になれば更に優秀ですが、質問者さんの使用シーンの場合、II型にしたところで何ら改善はしません。
厳しい言い方ですが、新しいレンズになっただけのただの自己満足に終わり、撮れる写真は旧型のレンズと全く同じものばかりになるでしょう。


この組み合わせで撮れない被写体なら、次に持ち出すべきは更に明るいレンズか、高感度に強いカメラを購入するかです。
よく、ご理解ください。


参考になれば幸いです。